Physics

Вступление

На сегодня все растет интерес к источникам альтернативной энергии. С увеличением уровня сознания современных цивилизаций альтернативные источники энергии вытесняют устаревшие, экологически опасные. Аккумуляция солнечной энергии — это простой, умозрительный и, самое главное, благоприятный для окружающей среды способ удовлетворить потребительские нужды. Однако солнечная энергетика столкнулась с еще недостаточно исследованными свойствами материалов, способных трансформировать энергию солнца. Экспериментально было определено некоторые закономерности работы солнечных панелей, которые предоставили широкий спектр методов для их оптимизации.
Переход на новые средства электроснабжения увеличивает масштабы в высокоразвитых странах мира. Известны такие пути добычи природной энергии: ветровой, водный, геотермальный и солнечные станции.
В практическом плане использования солнечных электростанций преобладает: их расположение не имеет значительных ограничений, ведь солнечные панели можно установить на крышах любых зданий, на поверхности электромобиля, самолета, космической станции или в чистом поле. Именно поэтому они стали популярными во всем мире. Однако различные факторы окружающей среды влияют на работу панели, что не всегда несет положительные последствия. Поэтому изобрели методы, сводящие эти риски к возможному минимуму.

История

Свойство некоторых материалов создавать электрический ток под действием света открыл в 1839 году Александр Эдмон Беккерель, отец Анри Беккереля — первооткрывателя радиоактивности. Прошло тридцать четыре года, когда два английских физика, Уильям Адамс и Ричард Дэй, создали публикацию, где были записи об экспериментах с действием света на селеносодержимые фотоэлементы.

Начальные серии солнечных панелей имели крайне низкие показатели КПД (<2%), но уже в начале второй половины девятнадцатого столетия начали выпускать эффективные панели и модернизировать их, подбирая оптимальные материалы.
График эффективности различных солнечных панелей с 1976 года (США)

Строение солнечной панели

1. Фотоэлектрический элемент: неоднородный кристаллический полупроводниковый материал
2. Фотоэлектрическая ячейка : фотоэлемент с покрытием для нейтрализации потери энергии через отражение света, укомплектован проводниками для передачи электрического тока
3. Фотомодуль: совокупность фотоэлектрических ячеек, определенным образом подключенных друг к другу .
4. Солнечная панель: группа соединенных фотомодулей
5. Солнечная станция: солнечные панели скомпонованы с системами аккумуляторов, приборами для сбора данных из панелей и ее регуляции

Базовые ведомости

Фотоны, прошедшие сквозь стекловидную поверхность фотоэлемента и не отразились, поглощаются электронами полупроводникового материала, предоставляя им достаточно энергии, чтобы оторваться от атомных орбиталей и стать свободными. Свободные электроны начинают двигаться хаотично, что нельзя назвать током. Поэтому к верхней половине полупроводника добавляют примеси n-элементов, которые увеличивают количество свободных электронов, а в нижней — р-элементы, которые увеличивают количество дыр, тем самым, образуя р-n переход.

1. С n-элементними примесями
2. С р-элементними примесями
3. Потребитель тока

Так фотоны, ионизируя атомы, высвобождают достаточное количество электронов, концентрирующихся в одной половине, и дырок — в другой, для того, чтобы вновь образованное электрическое поле создало ток, когда панель запирают в электрической цепи с каким-то потребителем (резистором).

Вольт-амперная характеристика солнечной панели

Солнечная панель имеет свою вольтамперную характеристику, которая подается в виде нелинейной кривой:

На верхнем графике изображена ВАХ панели, на нижнем – зависимость мощности от напряжения (P-V).

Как можно увидеть, существует только одно значение напряжения, при котором мощность максимальна. Именно здесь возникает задача удержать работу панели в точке ее максимальной мощности, в зависимости от силы тока и напряжения.

Что влияет на ВАХ солнечной панели

На ее значение влияет температура, инсоляция и свойства материала панели.

Запрещенная зона

Эффективность поглощения солнечной энергии, кроме инсоляции, зависит от некоторой характеристики материала фотоэлемента. Дело в том, что в твердых телах существуют значения энергий, которые не могут приобретать электроны. Такой диапазон называется «Запретной зоной». Поэтому бывает ситуация, когда нужно столько энергии, чтобы ионизировать атом и сопрячь электрон-дырка, сколько поглотить запрещено. Тогда происходит полное рассеивание света, что уменьшает эффективность панели. То есть фотоны относительно слишком высоких энергий не могут обеспечить инсоляцию, поскольку попадают в запретную зону.

Оптимизация солнечной панели

При составлении электрической цепи, где источником тока является солнечная панель, появляется потребность в регулировании напряжения. Ведь ВАХ панели постоянно меняется. То есть, когда круг замыкается, состояние панели соответствует какому-то значению напряжения и тока в ВАХ, соответствующем значению мощности, и постоянно меняется. Сразу непонятно является ли это состоянием максимальной мощности. Поскольку нам известно об общем виде графика ВАХ (преобразованная логарифмическая зависимость) и мощности, можем использовать тот факт, что график P (U) имеет одну точку экстремума, и она является максимумом.

Оптимизация солнечной панели методом производной

Пусть мы запомнили исходное состояние панели(U1 та I1) . Найдем производную мощности при U1 , равной тангенсу угла между касательной к графику в этой точке и положительным направлением абсциссы. Если значение dU1 /dI1 положительное, то точка (U1 , I1) находится слева от точки максимальной мощности (ТМП), как показано на графике. Тогда для оптимизации панели нужно увеличить напряжение в цепи. Однако, если производная отрицательная, то точка находится справа от ТМП (U2 та I2) , и напряжение надо уменьшить. Итак, определяя знак производной, надо увеличивать или уменьшать напряжение до тех пор, пока производная равна нулю или будет близка к нулю по значению.

Оптимизация методом вмешательства и наблюдения

Запомним начальное значение тока, напряжения и мощности в кругу панели (U, I и P = U * I). Затем увеличим напряжение на некоторую малую величину. Зафиксируем новые данные (U2, I2 и P2 = U2 * I2). Решающим шагом будет сравнение первого значения мощности и последнего. Если P> P2, то реальная точка мощности находится правее ТМП (см. График), и напряжение надо уменьшить. Соответственно, если P Оптимизация методом линейной зависимости MPP от напряжения на открытом кругу

Этот метод использует примерную линейную зависимость напряжения максимальной мощности от напряжения открытого круга, меняется в зависимости от освещения и температуры: VMPP = k1VOC, где k1 — это константа, зависящая от ВАХ панели при различных показателей освещения и температуры. Для определения константы нужно отключать преобразователь тока от круга, чтобы получить VOC, но это приведет к значительным потерям энергии. Поэтому, используют несколько отдельных фотоэлементов, не питают круг током, а только определяют k1.

Оптимизация методом линейной зависимости тока MPP от тока краткого замыкания

Этот метод использует примерную линейную зависимость тока максимальной мощности от тока короткого замыкания, меняется в зависимости от освещения и температуры: IMPP = k2Isc, где k2 — это константа, зависящая от ВАХ панели при различных условиях освещения и температуры. Как и в предыдущем методе, нужны дополнительные фотоэлементы, чтобы пропускать ток короткого замыкания при различных условиях, для определения k2.

Широтно-импульсный преобразователь (The DC-DC Boost Converter)

Чтобы воплотить различные методы оптимизации панели в действие, надо использовать устройство, которое может изменять внутреннее напряжение круга панели на какое-то минимальное значение или когда известно точное значение желаемого напряжения. Эту функцию может выполнять широтно-импульсный преобразователь. ШИП — это электронное устройство, трансформирует напряжение путем изменения прогальности (т.е. частоты импульсов электрического тока).
Для управления прогальностью (D) используют ее процентное значение:

D= VOC / VMPP (если необходимо уменьшить напряжение);
D= (VOC — VMPP ) / VOC (если необходимо увеличить напряжение);

Vin — напряжение в контуре панели (или массиве панелей), Vout — напряжение на внешнем контуре с нагрузкой , BK Leg (контур для уменьшения напряжения), BST Leg (контур для увеличения напряжения), Q1, Q4 — транзисторы, L1 — катушка индуктивности (аккумулирует энергию тока и передает ее дальше). Когда нужно уменьшить выходное напряжение, осуществляются операции в контуре для понижения напряжения BK Leg так, чтобы частота изменения состояния транзистора (Открытый / закрытый) уменьшалась. Тогда L1 аккумулирует меньшее количество энергии за определенное время и, как следствие, передает меньший ток в контур с Vout. Он будет отвечать меньшему значению напряжения.
То есть, на примере метода Вмешательства и наблюдения, когда по алгоритму нужно уменьшить напряжение, один из транзисторов ШИМ уменьшает частоту изменения состояния на какую постоянную единицу и выполняет нужные преобразования.

MPPT-контроллер

MPPT (maximum power point tracking) – поиск точки максимальной мощности. Аппаратным средством для его осуществления является MPPT-контроллер, включая ШИП.

Источники

• Practical Guide to Implementing Solar Panel MPPT Algorithms
• Application Note 2124 Power Circuit Design For SolarMagic SM3320
• Maximum Power Point Tracking Algorithms for Photovoltaic Applications
• Maximum Peak Power Tracker: A Solar Application

Выводы из доказательства Теории Фридмана.

Радиус Хаббла

У нас нет возможности соорудить космическое судно для далеких длительных путешествий по Вселенной за пределами нашей Солнечной системы, но это не единственная проблема. Человек не сможет добраться до некоторых мест из-за законов природы. Насколько нам известно, ничего не может перемещаться со скоростью большей, чем скорость света. Однако пространство может расширяться быстрее, чем фотон пролетит его, то есть быстрее света. Интенсивность расширения зависит от значения космологического масштабного фактора и расстояния между двумя точками наблюдения. Это означает, что вокруг любого места во Вселенной есть условная сфера, за которую невозможно попасть. Выведем формулу радиуса этой сферы.
Применим уравнение Фридмана-Робертсона-Уолкера для Вселенной в период доминирования вещества:

Умножим обе части на L=x*a:

a’/a * x*a=L*√(8п/3*ρ*G) => x*a’ = L*√(8п/3*ρ*G); x*a’ — скорость, которая равна скорости света по нашему условию.

Это радиус сферы Хаббла. Все, что находится на границе сферы Хаббла относительно наблюдателя, отдаляется со скоростью света. Фактически невозможно посмотреть или переместиться за сферу Хаббла, так как для этого необходимо двигаться быстрее скорости света.

Радиус Шварцшильда

Представим наблюдателя в центре черной дыры. Если он решит покинуть черную дыру, то у него ничего не получится. Даже свет не может покинуть это место. Теоретически можно сбежать, если наблюдатель превысит скорость света. Тогда относительно человека в черной дыре все внешние объекты будут двигаться со скоростью, большей или равной скорости света. Значит в этом случае можем использовать формулу L=R=c/√(8п/3*ρ*G), где L – радиус черной дыры или горизонт событий, ρ – плотность черной дыры. Все тела за границами радиуса будто движутся со скоростью света от тел в границах радиуса. Теперь перепишем формулу плотности. Для наблюдателей, что смотрят на дыру снаружи, горизонт событий кажется поверхностью астрономического объекта, потому как нет возможности увидеть его внутреннюю часть. Тогда плотность равна ρ=m/V=m/(4/3 πR^3 ). Возведем в квадрат предыдущее уравнение: R^2=C^2/(8п/3 * ρ*G). Подставим плотность: Выразим радиус преобразованиями: В космологии это зовется гравитационным радиусом или радиусом Шварцшильда.

Плотность Черной дыры

Подставим сюда формулу радиуса и найдем формулу плотности черной дыры: Интересный факт, что плотность черной дыры находится в обратной квадратичной зависимости от массы. То есть малые дыры гораздо плотнее, чем большие.

Влияние масштабного фактора на солнечную систему и ее жителей

Значение космологического фактора незначительное, чтобы заметить общий разгон вещества в масштабах галактики и, тем более, солнечной системы. Однако он увеличивается с течением времени. Когда-нибудь влияние расширения пространства приведет к таким эффектам, как разгон галактического вещества , в частности солнечных систем. Вероятно землянам не удастся наблюдать разрушение солнечной системы в следствии быстрого отдаления всей материи, а не взрыва Солнца. Однако, постоянно появляются другие, новые системы из планет и звезд. На некоторых возможна жизнь, что требует благоприятных условий. К примеру, стабильной кругообразной планетарной орбиты и какого-то спутника, как Луна. Чем позже такие системы образуются, тем ближе они к моменту, когда их благоприятные условия пострадают от масштабного фактора.

Гипотетически экстремальные значения масштабного фактора могут способствовать разрушению электромагнитных и даже ядерных связей. Сложно представить, что через миллиарды лет планеты и элементарные частички вещества, начнут распадаться от расширения пространства.

Актуальность космологии

До XX века не было возможности создать достоверную (с точки зрения современности) теорию о Вселенной, поскольку не хватало технологий для тщательного, многоуровневого наблюдения. В то время уже изобрели телескоп, но его точности хватало только на описание цвета, формы, траекторий движения ближайших к нам астрономических тел: планет, комет, Луны, Солнца и т.д. Заметить качественные изменения таким образом невозможно. Однако, ученные использовали все существующие средства, так и появилось первое рациональное виденье мира. Его фундаментом стала классическая физика, основанная Йоганном Кеплером, Галилео Галилеем и Ісааком Ньютоном в первой половине XVII ст. Вселенная изображалась совокупностью массивных материальных тел и явлениями над ними, что подчиняются закону Всемирного тяготения. Огромный ряд явлений был необъясненным. Следующим этапом развития мировоззрения стала классическая электродинамика, основанная Джеймсом Максвеллом, Гансом Эрстедом, Жан-Батистом Био, Феликсом Саваром, Майклом Фарадеем, Симеон-Дени Пуассоном и Андре-Мари Ампером на протяжении XIX ст. Объяснение взаимодействия заряженных тел модернизировало тогдашнее мировоззрение: к силе тяготения прибавились еще магнитные и электростатические силы. Их теория предвидела наличие электромагнитных волн, которые распространяются со скоростью света в вакууме. Задумка Альберта Майкельсона и Эдварда Морли проверить это привел к возникновению новой теории или пересмотру старой. Эксперимент Майкельсона-Морли опроверг существование эфира, сквозь который движутся тела. Хендрик Лоренс решил детальнее проанализировать результат их эксперимента, а именно одинаковую скорость света в разных системах исчисления. Таким образом он определил превращения физических параметров, что объясняли эксперимент – переобразования Лоренса. Они стали основой Специальной теории относительности Эйнштейна. Тут и произошел переход от классической физики Ньютона к релятивистской физике Эйнштейна, что усилило точность описания астрономических явлений. Параллельно развивался раздел физики – термодинамика. В основном ее развивали Сади Карно, Джоуль, Гиббс и Больцман с первой половины ХIХ ст. до начала XX ст. Умение разбираться в превращении энергии, что дает термодинамика, окажется полезным в теориях о Вселенной. После всего упомянутого наступает время создания двух решающих теорий мироздания: квантовая теория и общая теория относительности. Следует отдать должное электротехническим наукам, поскольку без них любые теории о строении и развитии Вселенной были бы неполными и неточными.

Сейчас оптические телескопы способны рассмотреть песчинку, что движется по орбите вокруг Солнца, они распознают все диапазоны электромагнитных волн. Детекторы могут фиксировать все виды облучения, ядерные осколки, включая нейтрино и гамма-лучи.

В 2016 году было зафиксировано гравитационные волны на детекторах LIGO в США. Современные технологии позволяют распознать нетривиальные астрономические явления и тела, которые непременно нужно изучать – это черные дыры, нейтронные сверхмассивные звезды, далекие галактики, кластеры и суперкластеры галактик. Сегодня благоприятные условия для исследования Вселенной. Актуальность разработки теорий, что описывают Вселенную, объясняется невозможностью дальнейшего эволюционирования физики проведением экспериментов в земных условиях. Также на пути исследований всегда присутствуют неожиданные открытия.

Вселенная с точки зрения Ньютоновской физики

Теорема Ньютона

Если существует точка, вокруг которой распределение массы изотропно во всех направлениях, то есть материю можно представить в виде заполненной сферы с центром в т.О, то гравитационная сила, которая бы воздействовала на материальную точку (А) снаружи этой сферы, будет такой же, как если бы вся материя сосредоточилась в т.О.

Следствие: если точка А будет находиться в этой сфере на расстоянии R2 от О, то гравитационная сила, которая будет воздействовать на точку А, будет такой же, как и если бы её создавала масса в сфере с радиусом R2, сосредоточенная в т.О.

Закон расширения Вселенной (Закон Хаббла)

Рассмотрим пространство Вселенной, которое задаётся Эвклидовой геометрией:

1. Он равномерно заполнен галактиками (белые точки на синем фоне).
2. Возьмём галактику А как начало системы отсчёта и проведем ось иксов (А лежит на координатах О).
3. Зададим еще одну галактику Б на расстоянии Х1 от А.

Тогда расстояние между ними: L=x*a(t).

α – это космологический масштабный фактор (Scale factor), который зависит от времени и характеризует расширение Вселенной.

Из этого найдем скорость разбегания галактик, как производную расстояния: v=L`=x*a`(t), где х не меняется со временем, то есть константа.
В 1929 году Эдвин Хаббл экспериментально обнаружил зависимость между красным смещением далёких галактик и их скоростью разбегания.

Производная масштабного фактора по времени
Постоянная Хаббла
Скорость разбегания галактик на расстоянии х

Зависимость характеристик света от расширения пространства

Одной из наиболее распространенных частиц в мире является фотон. На данный момент исследования показывают, что на один протон припадает десять фотонов. То есть количественно электромагнитные волны превосходят частички вещества. Основными характеристиками световой волны являются энергия (E), частота (v), длина волны (λ) и скорость света (c).

E=v*h,  где h — постоянная Планка; v=c/λ;

Изобразим световую волну в пространстве:

По закону Хаббла, длина волны со временем будет меняться таким образом:

Тогда частота v ∝ 1/a. Поскольку энергия прямо пропорциональна частоте, то E ∝ 1/a. Это значит, что с течением времени энергия каждого кванта света будет уменьшаться.

Космологическая модель физикой Ньютона

Пускай масса галактики Б равняется m. Используем теорему Ньютона и отметим, что масса материи в радиусе X1 равняется M. Тогда можно считать, что М находится в точке с координатой О. Запишем закон сохранения энергии для замкнутой системы, которой представлена Вселенная:

Первый член – это кинетическая энергия, второй – потенциальная.
Умножим обе части уравнения на 2:

Константа умноженная на два равняется определенной константе, поэтому const*2=const;
Разделим обе части уравнения на m (поскольку m является константой, то const/m=const):

Подставим в уравнение расстояние и скорость из формулы, которая выводится из закона Хаббла:

Теперь представим M, как произведение ρ*V (плотность на объем); Плотность одинаковая во всех точках упрощённой модели Вселенной, а объем расписывается как:
Тогда уравнение имеет вид:
Плотность не зависит от позиции, но зависит от времени, поскольку пространство расширяется и расстояния между галактиками меняются. α зависит от времени и не зависит от позиции. (4п/3 * G) – константа. Физическая величина x , и соответственно x^2 , зависит от положения и принимает уникальные значения. Ему (x^2) пропорциональна левая сторона уравнения, соответственно правая тоже должна делиться на x^2, поэтому можно упростить:
Это уравнение не зависит от начальной галактики или от положения. Оно зависит от α, которое меняется со временем.
Теперь преобразуем уравнение:

1. Перенесем второй член с левой части в правую
2. Поделим все на a^2
3. Константу, разделенную на a^2, запишем буквой k

Уравнение Фридмана-Робертсона-Уолкера

Плотность зависит от времени, поскольку пространство расширяется с его течением. Представим себе область, объем которой равен единице измерения в кубе. Размеры изменяются в зависимости от космологического масштабного фактора, поэтому объем будет равен (1 ед.меры длины*a)^3. Перепишем плотность как константную массу этой области, разделенную на объем: ρ= M/(1*a^3 ) (размерностью х^3 в записи можно пренебречь, но возьмем во внимание). Перепишем уравнение в соответствии с новой формулой :

k может принимать любой знак, знак минус перед ней это историческая традиция.

Решение уравнения Фридмана-Робертсона-Уолкера

Matter-dominated era. Эра доминирования вещества.

Уравнение правдиво только когда большая часть материи-энергии находится в состоянии вещества, а не в состоянии облучения: фотоны, нейтрино, любые частички, что двигаются с околосветовой скоростью. В обратном случае масса М элементарной области пространства имела бы возможность меняться. Например, фотоны всегда должны перемещаться, их масса покоя равна нулю. Также материальные объекты должны всегда находиться в границах своей области, чтобы М была константной. Поэтому период, который описывает уравнение, назвали «Эрой доминирования вещества». Совокупность решений уравнения зависит от значений неизвестных параметров. Наипростейшее равенство будет при k=0:

α может зависеть от времени определенным образом: обратно пропорционально, прямо пропорционально, степенно и т.д. Предположим, что на самом деле зависимость такая:

α = c*t^p, тогда a’=c*p*t^(p-1)

Подставим в уравнение:

Теперь мы видим, что слева в знаменателе время в квадрате, справа – в степени 3р. Значит, уравнение имеет смысл только когда выполняется 2=3р, от куда р=2/3. Тогда масштабный фактор равен a=ct^(2/3) . Подставим р в уравнение:

Такая нелинейная зависимость от времени говорит о том: что пространство расширяется с ускорением. Так же отменим, что в момент времени 0 масштабный фактор тоже равен 0. Это отвечает за то начальное состояние Вселенной, когда плотность материи была бесконечна.
Перепишем формулу постоянной Хаббла:

Теперь допустим, что границы области, в которых находится масса М, имеют идеальную упругую поверхность. Тогда давление, которое создается веществом на них, равно 0, так как масса не перемещается в другие элементарные области.

Radiation-dominated era

Еще до Эры доминирования вещества существовали такие условия, что большая часть материи-энергии находилась в виде высокоэнергичного облучения, радиации. Об этом свидетельствуют орбитальные наблюдения WMAP – Микроволновой Анизотропии Зонд имени Вилкинсона. Зонд детектирует свет микроволнового диапазона, который соответствует фотонам низкой энергии. Данные объясняются тем, что из-за масштабного фактора энергия высокочастотного облучения, образованного в ранний период эволюции Вселенной, уменьшилась (см. Зависимость характеристик света от расширения пространства). В малом масштабе эти микроволны равномерно заполняют пространства. Их прозвали Реликтовым фоном. Именно этот период назван «Эрой доминирования радиации» (Radiation-dominated era). Ранее мы отметили, что можна рассмотреть элементарный «кубик» пространства объемом Х^3 и массой М. Теперь допустим, что кубики заполнены фотонами. Тогда с течением времени потоки света будут пронзать кубики, но среднее количество частичек в одном будет постоянно. Поскольку длина волны со временем увеличивается, то общая энергия фотонов в кубике не будет константой. Она будет равна какой-то константе, разделенной на масштабный фактор: E ∝ d/a. Найдем плотность энергии фотонов, поделив предыдущее выражение на объем элементарной области (Х*a(t))^3, где Х мы принимаем за единицу : E/V ∝ d/(a^4) . Это значит, что плотность фотонной материи пропорциональна не 1/(a^3), а 1/(a^4). Перестроим уравнение Фридмана под новые параметры: Чтобы равенство имело смысл, необходимо 2=4*р. Тогда р=1/2:

Теперь рассмотрим случай, когда свет распространяется в направлении оси Х в своем кубике, который мы наделяем идеальными границами. Тогда сила, что действует на границы равна: F=dP/dt, умножим числитель и знаменатель на скорость света∶F=(dP*c)/(dt*c)=E/L Разделим две части на площадь контакта света с границей: F/S=E/(L*S) => P=E/V де E/V назовем плотностью энергии и обозначим ρ_E. На самом деле свет движется не только по оси Х, но и по осям Y и Z. Поэтому общее давление на кубик будет: P2= ρ_E/3

Dark energy-dominated era

Представим себе одномерной мир, в котором действуют Закон всемирного тяготения и Закон Габбла. Он равномерно заполнен веществом в виде совокупностей галактик, кластеров, звезд и т.д. Изобразим его следующим образом:

Жёлтым цветом обозначено материю, которую включает Вселенная. А, Б – галактики. По закону Хаббла расстояние L между галактиками А и Б будет увеличиваться, соответственно плотность вещества будет уменьшаться. Рассмотрим пустое пространство между ними – оно расширяется. Тогда там постоянно появляются определенные абстрактные объекты, из которых состоит непосредственно пространство. Их плотность в любой точке одинаковая и постоянная, то есть не меняется со временем. Такой эффект назвали энергией вакуума или темной энергией. Эта энергия является константной характеристикой Вселенной. Вернемся к предыдущим периодам развития Вселенной.

Попытаемся установить зависимость Р от переменной w: P=w*ρ_E

Найдем w для плотности энергии, что не меняется со временем. Перепишем уравнение, когда энергия элементарной области будет уменьшаться при увеличении объема: dE=-PdV. Если E=ρV (ρ-плотность энергии), то переменная энергии будет равна ρdV+Vdρ= > ρdV+Vdρ=-PdV = > Vdρ=-(P+ρ)dV. Поскольку P=w*ρ_E, то Vdρ=-(w+1)ρdV. Преобразуем уравнение: dρ/ρ=-(w+1)dV/V. Отменим, что dIn(f)=df/f – логарифмическая производная. Тогда: dIn(ρ)=-(w+1)*dIn(V)= >In(ρ)=-(w+1)*In(V)+C=> => In(ρ)=In(1/V^(w+1) ) +C=> ρ ∝ 1/V^(w+1), V=X^3 * a^3 = 1*a^3 => ρ ∝ 1/a^(3(w+1)) Если ρ константа, то w=-1 (a⁰ =1). Тогда P=-ρ_E. Это значит, что плотность энергии – отрицательная величина, ведь именно из-за расширения Вселенной давление принимает положительное значение. Перепишем уравнение Фридмана, для постоянного значения плотности:

8п*ρ*G = Λ, где Λ — космологическая постоянная; H= √(Λ/3)

a`=a√(Λ/3). Найдем интеграл a`. Единственная функция, что при дифференцировании переходит сама в себя, это экспонента. Тогда a ∝ exp⁡(Ht). Период существования Вселенной с экспотенциальной зависимостью назвали «Эрой доминирования темной материи»(Dark energy-dominated era).

Выводы

Каждое с трех уравнений имеет смысл в любой период эволюции Вселенной. Практическое влияние у них будет разным. Мы определили, что на характер расширения пространства влияют три вещи: относительно статическая материя в виде вещества, материя в виде облучения и темная материя. Сначала плотность энергии облучения была наивысшей, по этому нужно было учитывать, что a ∝ t^(1/2). Потом по закону Хаббла длина волн облучения уменьшилась, соответственно энергия и плотность энергии облучения тоже. Тогда плотность энергии материи была превалирующей и a ∝ t^(2/3). Когда же материя разбежится так далеко, чтоб её плотность можно было сравнить с плотностью энергии вакуума, темная материя начнет нести наибольшее влияние на масштабный фактор и a ∝ exp⁡(Ht).

Источники

• Лекции Леонарда Саскинда в Стенфордском университете.
• Больцман. Термодинамика и энтропия.
• Стивен Вайнберг. Космология.