Reading mode

Актуальність космології

До XX ст. не було можливості створити достовірну (з точки зору сучасності) теорію про Всесвіт, оскільки бракувало технологій для детального, багаторівневого спостереження. В той час вже було винайдено телескоп, але його точності вистачало на опис кольору, форми, траєкторій руху найближчих до нас астрономічних тіл : планет, комет, Місяця, Сонця тощо. Помітити якісні зміни поза сонячною системою таким чином неможливо.

Проте, вчені використовували всі існуючі засоби, так і з’явилося перше раціональне бачення світу. Його фундаментом стала класична фізика, заснована Йоганном Кеплером, Галілео Галілеєм та Ісааком Ньютоном у першій половині XVII ст. Всесвіт зображувався сукупністю масивних матеріальних тіл та явищами над ними, що підпорядковуються закону Всесвітнього тяжіння. Величезний ряд явищ був непоясненим.

Наступним етапом розвитку світобачення стала класична електродинаміка, заснована Джеймсом Максвелом, Гансом Ерстедом, Жан-Батистом Біо, Феліксом Саваром, Майклом Фарадеєм, Сімеон-Дені Пуасоном та Андре-Марі Ампером протягом XIX ст. Пояснення взаємодії заряджених тіл модернізувало тодішній світогляд: до сили тяжіння додаються ще магнітні та електростатичні сили. Їхня теорія передбачала наявність електромагнітних хвиль, що поширюються зі швидкістю світла в вакуумі.

Задум Альберта Майкельсона та Едварда Морлі перевірити це призвів до виникнення нової теорії або переосмислення старої. Експеримент Малькельсона-Морлі спростував припущення про існування ефіру, через який рухаються всі тіла. Гендрік Антон Лоренц вирішив детальніше проаналізувати результат їхнього експерименту, а саме однакову швидкість світла у різних системах відліку. Таким чином він вивів перетворення фізичних параметрів, що пояснювали експеримент, – перетворення Лоренса. Вони пішли в основу спеціальної теорії відносності Ейнштейна. Тут і відбувся перехід від класичної фізики Ньютона до релятивістичної фізики Ейнштейна, що посилило точність опису астрономічних явищ.

Паралельно розвивався розділ фізики – термодинаміка. Здебільшого її розвивали Саді Карно, Джоуль, Гіббс та Больцман з першої половини ХIХ ст. до початку XX ст. Вміння розуміти перетворення енергії, що надає термодинаміка, виявиться дуже важливим у теоріях про Всесвіт. Після всього згаданого настає час створення двох вирішальних теорій світобудови: квантова теорія та загальна теорія відносності.

Слід віддати належне електротехнічним наукам, адже без них будь-які теорії про будову і розвиток Всесвіту були б неповними та неточними.

Зараз оптичні телескопи здатні бачити піщинку, що рухається по орбіті навколо Сонця, вони розпізнають усі діапазони електромагнітних хвиль. Детектори можуть фіксувати всі види випромінення, ядерні уламки, включаючи нейтрино та гама-промені.

В 2016 році було зафіксовано гравітаційні хвилі на детекторах LIGO в США. Сучасні технології дозволяють розпізнати нетривіальні астрономічні явища і тіла, які неодмінно треба вивчати, – це чорні діри, нейтронні надмасивні зірки, далекі галактики, кластери та суперкластери галактик. Сьогодні найсприятливіші умови для дослідження Всесвіту. Актуальність розроблення теорій, що описують Всесвіт, пояснюється неспроможністю подальшого еволюціонування фізики проведенням експериментів в земних умовах. Також на шляху дослідження завжди присутні неочікувані відкриття.

Всесвіт з точки зору Ньютонiвської фізики

Теорема Ньютона

NewtonsTheorem

Якщо існує точка , навколо якої розподіл маси ізотропний у всіх напрямках, тобто матерію можна представити у вигляді заповненої сфери з центром в т.О, то гравітаційна сила, яка б діяла на матеріальну точку (А) зовні цієї сфери, буде такою ж, як коли б вся матерія зосередилася в т.О.
Newtons Theorem Illustration
Наслідок: якщо точка А знаходитиметься у цій сфері на відстані R2 від О, то гравітаційна сила, яка діятиме на точку А, буде такою ж, як коли б її створювала маса у сфері з радіусом R2 ,зосереджена у т.О.

Закон розширення Всесвіту (Закон Габбла)

Euclid space

Роздивимось простір Всесвіту, який задається Евклідовою геометрією:

  1. Він рівномірно заповнений галактиками (білі крапки на синьому фоні).
  2. Увізьмемо галактику А за початок системи відліку та проведемо вісь іксів (А лежить на координатах О).
  3. Задамо ще одну галактику Б на відстані Х1 від А.

Тоді відстань між ними : L=x*a(t).

α – це космологічний масштабний фактор (Scale factor), який залежить від часу та характеризує розширення всесвіту.

З цього визначимо швидкість розбігання галактик, як похідну відстані: v=L`=x*a`(t), де х не змінюється з часом і є константа.
У 1929 році Едвін Габбл експериментально виявив залежність між червоним зсувом далеких галактик та їхньою швидкістю розбігання.

Похідна масштабного фактору від часу scale factor derivative
Стала Габбла Hubble constant
Швидкість віддалення на відстані х velocity

Залежність характеристик світла від розширення простору

Однією з найбільш поширених частинок у світі є фотон. Наразі дослідження показують, що на один протон припадає десять фотонів. Тобто кількісно електромагнітні хвилі переважають частинки речовини. Основними характеристиками світової хвилі є енергія (E), частота (v), довжина хвилі ( λ) та швидкість світла (c).

formulae

Зобразимо світлову хвилю у просторі: wave

За законом Габбла, довжина хвилі з часом буде змінюватися таким чином: Lambda

wave-and-lambda
Тоді частота v ∝ 1/a. Оскільки енергія прямопропорційна частоті, то E ∝ 1/a. Це означає, що з плином часу енергія кожного кванту світла буде зменшуватись.

Космологічна модель фізикою Ньютона

Нехай маса галактики Б дорівнює m. Використаймо
теорему Ньютона та зазначимо, що маса матерії в радіусі X1 дорівнює M. Тоді можна вважати, що M знаходиться у точці с координатою О.
Занотуємо закон збереження енергії для замкнутої системи, якою представлений Всесвіт:
law of conservation of energy
Перший член – це кінетична енергія, другий – потенціальна.
Помножимо обидві частини рівняння на 2:
two-times
Константа помножена на два дорівнює певній константі, тому const*2=const;
Поділимо обидві частини рівняння на m( оскільки m є константа, то const/m=const):
divide-by-m
Підставимо у рівняння відстань та швидкість з формули, що виводиться із закону Габбла:
substitution
Тепер подамо M, як добуток ρ*V (густота на об`єм); Густота однакова в усіх точках спрощеної моделі Всесвіту, а об’єм розписується як:second-substitution
Тоді рівняння має вигляд: G-substitution
Густота не залежить від позиції, але залежить від часу, оскільки простір розширяюється і відстані між галактиками змінюються. Α залежить від часу і не залежить від позиції. (4п/3 * G) – константа. Фізична величина x , і відповідно x^2 , залежить від положення і приймає унікальні значення . Їй (x^2) пропорційна ліва сторона рівняння, відповідно права повина теж ділитися на x^2, тому можна спростити: divide-by-x
Це рівняння не залежить від початкової галактики, чи від положення. Воно залежить від α, яке змінюється з часом.
Тепер перетворимо рівняння:

  1. перенесемо другий член з лівої частини в праву
  2. поділимо все на a^2
  3. Константу, поділену на a^2, запишемо літерою k

result

Рівняння Фрідмана-Робертсона-Уолкера

Густина залежить від часу, оскільки простір розширюється з його плином. Уявімо собі область, об`єм якої дорівнює одиниці вимірювання в кубі. Розміри змінюються залежно від космологічного масштабного фактору, тому об`єм дорівнюватиме (1 од.міри довжини*a)^3 . Перепишемо густину, як константну масу цієї області, поділену на об`єм: ρ= M/(1*a^3 ) (розмірністю х^3 у записі знехтуємо, але візьмемо до уваги).
Перепишемо рівняння відповідно до нової формули:
new-equation
Цікавий факт, що Александр Фрідман отримав це рівняння із загальної теорії відносності Ейнштейна, не використовуючи простіші методи Ньютонівської фізики.

k може набувати будь-якого знаку, знак мінус перед нею це всього лише історична традиція.

Рішення рівняння Фрідмана-Робертсона-Уолкера

Matter-dominated era. Ера домінування речовини.

equation
Рівняння дійсне тільки коли більшість матерії-енергії знаходиться в стані речовини, а не в стані випромінення: фотони, нейтрино, будь-які частинки, що рухаються з близькосвітловою швидкістю. В іншому випадку маса М елементарної області простору мала б змогу змінюватись. Наприклад, фотони завжди повинні переміщуватися, їхня маса спокою дорівнює нулю. Також матеріальні об`єкти повинні завжди знаходитися у межах своєї області, щоб М була константою. Тому період, який описує рівняння, назвали «Ерою домінування речовини».
Сукупність розв’язків рівняння залежить від значень невідомих параметрів. Найпростіше рішення буде при k=0:
zero-k
α може залежати від часу певним чином: оберненопропорційно, прямопропорційно, степенево тощо. Припустимо, що насправді залежність така:
dependence-one
Підставимо у рівняння:
substitution-two
Тепер ми бачимо, що зліва в знаменнику час у квадраті, справа – у степені . Отже, рівняння матиме сенс тільки якщо виконується 2=3р, звідки р=2/3. Тоді масштабний фактор дорівнює a=ct^(2/3). Підставимо р у рівняння:
substitution-three
Така нелінійна залежність від часу говорить про те, що простір розширюється з прискоренням. Також зазначимо, що у момент часу 0, масштабний фактор теж дорівнює 0. Це відповідає за той початковий стан Всесвіту, коли густина матерії була нескінченна.
Перепишемо формулу сталої Габбла:
substition-four

Тепер припустимо, що кордони області, у яких знаходиться маса М, мають ідеальну пружну поверхню. Тоді тиск, який створюється речовиною на них, дорівнює нулю, бо маса не переміщується в інші елементарні області.

graph

Radiation-dominated era

Microwave Sky

Ще до Ери домінування речовини існували такі умови, що переважна кількість матерії-енергії знаходилася у вигляді високоенергетичного випромінення, радіації. Про це свідчать орбітальні спостереження WMAP – Мікрохвильової Анізотропії Зонд імені Вілкінсона.
Зонд детектує світло мікрохвильового діапазону, який відповідає фотонам низької енергії. Дані пояснюються тим, що через масштабний фактор енергія високочастотного випромінення, утвореного в ранній період еволюції Всесвіту, зменшилася (див. Залежність характеристик світла від розширення простору). В малому масштабі ці мікрохвилі рівномірно заповнюють простір. Їх прозвали Реліктовим фоном.
Саме цей період має назву «Ера домінування радіації» (Radiation-dominated era).
Раніше ми зазначили, що можна розглянути елементарний «кубик» простору об’ємом Х^3 та масою М. Тепер припустимо, що кубики заповнені фотонами. Тоді з плином часу потоки світла пронизуватимуть кубики, але середня кількість частинок в одному буде стала. Оскільки довжина хвилі збільшується з часом, то загальна енергія фотонів в кубику не буде константою. Вона дорівнюватиме деякій константі поділеній на масштабний фактор: E ∝ d/a. Знайдемо густину енергії фотонів, поділивши попередній вираз на об`єм елементарної області (Х*a(t))^3, де Х ми приймаймо за одиницю: E/V ∝ d/(a^4) . Це означає, що густина фотонної матерії пропорційна не 1/(a^3) , а 1/(a^4). Перебудуймо рівняння Фрідмана під нові параметри:
equation-new-params
Щоб рівняння мало сенс, треба 2=4*р. Значить р=1/2:

c-param
scale-factor
new-hubble-constant

graph-radiation

Тепер розглянемо випадок, коли світло поширюється в напрямку осі Х у своєму кубику, який ми наділимо ідеальними кордонами. Тоді сила, що діє на кордони дорівнює: F=dP/dt, помножимо чисельник і знаменник на швидкість світла∶F=(dP*c)/(dt*c)=E/L
waves

Поділимо обидві частини на площу контакта світла з кордоном: F/S=E/(L*S) => P=E/V де E/V назвемо густиною єнергії і будемо позначати ρE.

В дійсності світло рухається не тільки по осі Х, а ще й по Y та Z. Тому загальний тиск на кубик буде: P2= ρE/3

Dark energy-dominated era

Уявімо собі одновимірний світ, у якому діють Закон всесвітнього тяжіння та Закон Габбла. Він рівномірно заповнений речовиною у вигляді скупчення галактик, кластерів, зірок тощо. Зобразимо його так:

galaxies

galaxies-scoped

Жовтим кольором позначено матерію, яку містить Всесвіт. А, Б – галактики. За законом Габбла відстань L між галактиками А і Б буде збільшуватися, відповідно густина речовини буде зменшуватися. Роздивимось пустий простір між ними – він розширюється. Тоді там постійно з`являються деякі абстрактні об`єкти, з яких зроблений сам простір. Їх густина в будь-якій точці однакова і постійна, тобто не змінюється з часом. Такий ефект назвали енергією вакуума або темною енергією. Ця енергія є константною характеристикою Всесвіту. Повернемось до попередніх періодів розвитку Всесвіту.

α (масштабний фактор) P (тиск)
ct^(2/3) 0
ct^(1/3) P=ρE/3

Спробуймо встановити деяку залежність Р від змінної w: P=w*ρE

Залежність від α P (тиск) w (деяка змінна)
ρ ∝ 1/(a^3) 0 0
ρ ∝ 1/a^4 ρE/3 1/3

Знайдемо w для густини енергії, що не змінюється з часом. Перепишемо рівняння, коли енергія елементарної області зменшуватиметься зі збільшенням об`єму: dE=-PdV. Якщо E=ρV (ρ-густина енергії), то зміна енергії дорівнюватиме ρdV+Vdρ= > ρdV+Vdρ=-PdV = > =>Vdρ=-(P+ρ)dV. Так як P=w*ρE, то Vdρ=-(w+1)ρdV. Перетворюємо рівняння: dρ/ρ=-(w+1)dV/V. Зазначимо, що dIn(f)=df/f – логарифмічна похідна. Тоді: dIn(ρ)=-(w+1)*dIn(V)= >In(ρ)=-(w+1)*In(V)+C => In(ρ)=In(1/V^(w+1) ) +C=> ρ ∝ 1/V^(w+1), V=X^3 * a^3 = 1*a^3 => ρ ∝ 1/a^(3(w+1))

Якщо ρ константа, то w=-1 (a0 =1). Тоді P=-ρE.

Це означає, що густина енергії – від’ємна велична, адже саме через розширення Всесвіту тиск приймає додатнє значення.

Перепишемо рівняння Фрідмана для сталого значення густини: overwrite

notation

a’=a√(Λ/3). Знайдемо інтеграл a’. Єдина функція, що при диференціюванні переходить сама в себе, це експонента. Отже a ∝ exp⁡(Ht). Період існування Всесвіту із експотенціальною залежністю розширення назвали «Ерою домінування темної матерії»( Dark energy-dominated era).

Висновки

Кожне з трьох рівнянь має сенс у будь-який період еволюції Всесвіту. Практичний вплив у них буде різним. Ми визначили, що на характер розширення простору впливають три речі: відносно статична матерія у вигляді речовини, матерія у вигляді випромінення та темна матерія. Спочатку густина енергії випромінення була найвищою, тому треба було враховувати, що a ∝ t^(1/2). Потім за законом Габбла довжина хвиль випромінення зменшилась, відповідно енергія і густина енергії випромінення також. Тоді густина енергії матерії була превалюючею і a ∝ t^(2/3). Коли ж матерія розбіжиться настільки далеко, щоб її густину можна було порівнювати з густиною енергії вакуума, темна матерія почне нести найвагоміший вплив на масштабний фактор і a ∝ exp(Ht).

Джерела

Share this Post